(folytatás)
Nézzük meg azért azt a házi feladatot közösen is!*
Nyilván az a megoldás, hogy a tevét a lyuk síkjában össze kell nyomni, arra merőlegesen pedig meg kell nyújtani. Írjuk le ezt pontosabban!
Az egyszerűség kedvéért maradjunk 4-dimenziós vektortérben. Legyen a bázisunk és a szimplektikus formánk olyan, amilyet az előző bejegyzés végén mondtunk. Emlékeztetőül ideírom még egyszer. A bázis:
{ e1, e2, f1, f2 }
A szimplektikus forma:
ω(ei, ej) = ω(fi, fj) = 0,
ω(ei, fj)= δij.
Ez nem jelent semmilyen megszorítást, mivel tetszőleges szimplektikus formához található ilyen bázis az előző bejegyzésben szereplő bizonyításban elvégzett "ortogonalizációs" eljárással.
Az ω szimplektikus formának ei és fi vektorok által kifeszített 2-dimenziós altérre vonatkozó megszorítása ezen az altéren egy szimplektikus forma, ezért ezt az alteret az i-edik szimplektikus síknak fogom nevezni. A szimplektikus formának minden más bázisvektorpár által kifeszített síkra való megszorítása azonosan nulla. Ezeket a síkokat nemszimplektikus síkoknak fogom nevezni, és ennek az észrevételnek megfelelően két esetet fogunk vizsgálni. A teve mindkét esetben legyen ugyanaz a gömb, a tű foka pedig az első esetben egy nemszimplektikus síkra, a második esetben pedig egy szimplektikus síkra állított henger. Az elsőt nemszimplektikus, a másodikat pedig szimplektikus hengernek fogom nevezni. A továbbiakban az egyszerűség kedvéért a vektorokat a fenti bázisra vonatkozó koordinátáival azonosítom.
Legyen tehát a teve az origó körüli R sugarú gömb, vagyis a
B(R) = {(x1, x2, p1, p2 ) : x12 + x22 + p12 + p22 < R2 }
halmaz.
Első eset: nemszimplektikus henger
Legyen a tű foka az e1 és e2 vektorok által kifeszített (nemszimplektikus) síkon álló r sugarú (nemszimplektikus) henger, vagyis a
Z12(r) ={(x1, x2, p1, p2 ) : x12 + x22 < r2 }
halmaz.
A tevét a mondott sík irányában λ-szorosára (0 < λ < 1) összenyomjuk, arra merőlegesen pedig ugyanilyen arányban megnyújtjuk. Ez a
mλ : (x1, x2, p1, p2 ) → (x1', x2', p1', p2') = (λx1, λx2, p1/λ, p2/λ)
transzformáció valamely 0 és 1 közé eső λ számmal. Ez a transzformáció térfogattartó, sőt szimplektikus is. Ha x12 + x22 + p12 + p22 < R2 , akkor x12 + x22 < R2 , vagyis x1'2 + x2'2 < (λR)2 . Ha tehát λ ≤ r/R, akkor B(R) gömb pontjait (vagyis a tevét) a Z12(r) hengerbe (vagyis a tű fokába) viszi. Hurrá!
Második eset: szimplektikus henger
Legyen most a tű foka az első szimplektikus (vagyis az e1 és f1 vektorok által kifeszített) síkra állított r sugarú henger, vagyis a
Z1(r) = {(x1, x2, p1, p2 ) : x12 + p12 < r2 }
halmaz.
Most az x1 - p1 síkon nyomunk össze, és arra merőlegesen nyújtunk. A transzformációnk tehát most:
nλ : (x1, x2, p1, p2 ) → (x1', x2', p1', p2') = (λx1, x2/λ, λp1, p2/λ)
Ez továbbra is térfogattartó, és a λ ≤ r/R esetben B(R)-t Z1(r) -be (vagyis a tű fokába) viszi. Azonban ez transzformáció a λ = 1 eset kivételével már nem szimplektikus!
(folyt. köv.)
*M. de Gosson: The principles of Newtonian an Quantum Mechanics (Imperial College Press 2001) alapján.
