Neumann János 1935-ben Pascual Jordan-nal írt egy közös cikket1, ami lényegét tekintve arról szól, hogy az euklideszi terek legalapvetőbb összefüggése az úgynevezett paralelogramma azonosság. Ez egy elemi összefüggés a paralelogramma oldalhosszai és átlóhosszai között: az oldalhosszainak négyzetösszege egyenlő az átlóhosszainak négyzetösszegeivel: 2a2+2b2=e2+f2 , ahol a és b a paralelogramma oldalai, e és f pedig a két átlója. Tulajdonképpen a Pitagorasz-tétel általánosításáról van szó, hiszen a derékszögű paralelogramma (vagyis téglalap) speciális esetében ez a két átlóra felírt Pitagorasz-tétel egyenleteinek az összeadásaként adódik. Nem maga az összefüggés az, amire Neumann és Jordan rájött (hiszen valószínűleg már Pitagorasz is ismerte), hanem az, hogy egy valós, véges dimenziós, normált tér pontosan akkor euklideszi, ha érvényes benne a paralelogramma azonosság.
Neumann János és Pascual Jordan a kvantummechanika atyjai voltak. Jordan Heisenberggel és Born-nal együtt a kvantummechanika úgynevezett mátrixmechanikai formalizmusát alkotta meg, Neumann pedig bebizonyította, hogy ez a mátrixmechanika matematikailag ekvivalens a Schrödinger-féle hullámmechanikával. Az ekvivalencia bizonyítása abból ált, hogy megmutatta, hogy mindkét elmélet állapottere az absztrakt Hilbert-tér (pontosabban a Hilbert-tér altérhálójának) egy-egy speciális megvalósítása. Magának az absztrakt Hilbert-térnek a fogalmát is Neumann János alkotta meg 1929-ben2
A Hilbert tér az euklideszi tér fogalmának olyan általánosítása, amelyben a skalárok nem csak valós, hanem komplex számok is lehetnek, a tér dimenziója pedig nem kötelezően véges. Az euklideszi terek valós és véges dimenziós Hilbert-terek, a kvantummechanika Hilbert-tere viszont komplex és végtelen dimenziós.
E két általánosítástól eltekintve a Hilbert tér ugyanaz, mint az euklideszi: egy lineáris tér (vektortér), amelyen adva van a skalárszorzat, ami esetleges kis hibáktól eltekintve egy nemdegenerált, pozitív definit, szimmetrikus, bilineáris forma3. Egy vektor önmagával vett skalárszorzatát a vektor normájának, vagy hosszának nevezik. A skalárszorzat megadása tehát egyúttal egy norma megadását is jelenti. Ez a norma teljesíti az alábbi összefüggéseket:
- A 0 vektor normája 0.
- Minden más vektor normája egy pozitív valós szám.
- Egy vektor skalárszorosának a hossza egyenlő a skalár abszolútértéke szorozva a vektor hosszával.
- Két vektor összegének a hossza nem nagyobb, mint a vektorok hosszának az összege (háromszögegyenlőtlenség)
- A vektortér erre a normára nézve teljes tér, vagyis benne minden Cauchy-sorozat konvergens.
És persze minden Hilbert-térben, speciálisan az euklideszi térben is érvényes az a bizonyos paralelogramma azonosság, amiről beszélünk:
|a+b|2 + |a-b|2 = 2|a|2 + 2|b|2.
Ez az egyenlőség a skalárszorzat tulajdonságainak egyszerű következménye.Azokat a tereket, amelyekben a fenti 1-5. tulajdonsággal rendelkező norma van definiálva, Banach-tereknek nevezik. Mint mondtuk, ha a norma skalárszorzattal van definiálva, akkor ezek mindenképpen teljesülnek, és teljesül a paralelogramma azonosság is. Lehet azonban Banach-teret megadni skalárszorzat nélkül is. És persze, ha van norma, akkor van értelme a valós esetben a g(a,b) = (1/2)(|a+b|2 - |a|2 - |b|2 ), a komplexben pedig a g(a,b)=(1/2)(|a+b|2 - |a|2 - |b|2)+(i/2)(|a+ib|2 - |a|2 - |b|2) kétváltozós függvénynek is. A valós illetve komplex Hilbert terekben g(a,b) épp az <a|b> skalárszorzattal egyezik meg, az olyan Banach-terek esetén azonban, amelyekben a norma nem skalárszorzatból származik, már nem biztos, hogy ez egy bilineáris forma lesz. Például, ha egy vektor normáját tetszőleges p≥1 számot véve az (|x1|p+|x2|pp+...+|xn|p)1/p képlettel definiáljuk, a p=2 esetet kivéve olyan normához jutunk, amire a fenti g(a,b) függvény nem lineáris. Tehát minden Hilbert-tér Banach-tér, de nem minden Banach-tér Hilbert-tér.
Mivel Hilber-terekben érvényes a paralelogramma azonosság, annak, hogy egy Banach tér Hilbert-tér legyen szükséges feltétele a paralelogramma azonosság teljesülése. Neumann és Jordan az említett cikkében azt bizonyítja be, hogy ez a feltétel elégséges is, vagyis minden olyan Banach-tér, amelyben teljesül a paralelogramma azonosság egyben Hilbert-tér is, tehát ekkor a fenti g(a,b) függvény egy nemdegenerált, szimmetrikus, pozitív definit bilineáris forma lesz. Ez a megállapítás speciális esetként magában foglalja azt is, hogy egy valós, véges dimenziós normált vektortér pontosan akkor euklidesz tér, ha teljesül benne a paralelogramma azonosság.
1P. Jordan and J. V. Neumann (1929),"On Inner Products in Linear, Metric Spaces" The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 36, No. 3 (Jul., 1935), pp. 719-723
Találtam a tételnek egy magyar nyelven írt bizonyítását is: http://numanal.inf.elte.hu/~simon/PARALL.pdf
2von Neumann, John (1929), "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren", Mathematische Annalen 102: 49–131.
3A kis hibák a komplex esetben vannak, mert ekkor a szimmetrikusság nem szó szerint értendő, hanem konjugált-szimmetrikusságnak: a változók felcserélésével a skalárszorzat értéke a komplex konjugáltjára változik. Ebből következően a bilinearitás is csak másfél-linearitás, hiszen csak az első változóban jelent homogenitást, a második változóból a skalár szorzó komplex konjugáltja emelhető ki. Erre azért van szükség, hogy az ezzel a skalárszorzattal definiált norma mindig nemnegatív valós szám lehessen. Egy vektor komplex számszorosának önmagával vett skalárszorzata (vagyis normanégyzete) így ugyanis az eredeti vektor normanégyzetének nem a skalárnégyzetszerese lesz (ami még csak nem is feltétlenül valós szám), hanem a skalár abszolútértéknégyzet-szerese, ami mindig egy nemnegatív valós szám.
