Talán kicsit barátságosab lesz az Elrettentő Példám (a továbbiakban: EP), ha elárulom, hogy mi köze van a Möbius-szalaghoz. Hát ez:
Az EP nem más, mint az a nyaláb, amely a Möbius-szalagból úgy keletkezik, hogy a teljes terének a belső pontjait elhagyjuk. Vagyis ennek a nyalábnak a teljes tere (E) a Möbius-szalag teljes terének a határa (a szalag éle), bázistere és projekciója pedig ugyanaz, mint a Möbius-szalagé. A két nyaláb közt vannak hasonlóságok és különbségek és is. Különbség, hogy a Möbius-szalagnak van globális szelése (hiszen tudunk rá egyenlítőt rajzolni, az EP-nek viszont - mint láttuk -nincs. A hasonlóság ránézésre is nyilvánvaló, de mi azért itt ezt egy kicsit mélyebben is ki fogjuk vesézni.
Jelölések:
Legyen H = {z ∈ C : |z|=1 }
Az EP nyaláb: (E, H, ΠE, K), ahol E = H, ΠE : E → H : z → z2 , K = {-1,1}. Az EP nyaláb z = eiφ pont feletti fibruma a ΠE -1 (eiφ )={ eiφ/2 ,-eiφ/2 } halmaz.
Azért, hogy világosan látszódjon, hogy az EP-nyaláb a Möbius-szalag résznyalábja, a Möbius-szalagot is komplex számokkal írom most le. A Möbius szalag teljes tere C2-nek az alábbi részhalmaza:
M = {(sinη eiφ , cosη eiφ/2) : 0 ≤ η ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π}
A Möbius-szalag: (M, H, Π, F), ahol Π : M → H : (sinη eiφ , cosη eiφ/2) → eiφ, F = [-1,1]. A Möbius-szalag z = eiφ pont feletti fibruma a {(sinη eiφ , cosη eiφ/2) : 0 ≤ η ≤ π} halmaz. Az EP-nyaláb eiφ pont feletti fibruma láthatóan ennek a halmaznak a határa, amennyiben (0,z) párt azonosítjuk z-vel.
Ugyanígy látható, hogy az EP nyaláb teljes tere (E) valóban határa a Möbius-szalag teljes terének (M-nek):
E = {(sinη eiφ , cosη eiφ/2) : η ∈ {0,π}, 0 ≤ φ ≤ 2π} = {(0 , eiφ) : 0 ≤ φ ≤ 2π}
