A sík forgatásai topológiailag egy körvonallal (S1) azonosak, ez nyilvánvaló. A körvonal minden pontja pedig egy egységnyi abszolút értékű komplex számnak felel meg, ráadásul ha a φ szögű forgatásnak az eiφ komplex számot feleltetem meg, akkor ez a megfeleltetés egy csoporthomomorfizmus a sík forgatásai (SO(2)) és az egységnyi abszolút értékű komplex számoknak multiplikatív csoportja (SU(1)) között.
Ez a helyzet nem pontosan analóg a 3-dimenziós forgatásokéval. Mint ahogyan az előző bejegyzésben láttuk, a 3-dimenziós tér forgatásai topológiailag nem S3-mal, hanem RP3-mal azonosak, ami azt jelenti, hogy S3 duplán fedi le SO(3)-at. Ez annak felel meg, mintha S1-gyel duplán fednénk le SO(2)-t, vagyis, ha például a φ szögű forgatásnak nem eiφ -t, hanem eiφ/2 -t feleltetem meg (a gumilabdás analógia szerint a [-π,π] szakaszt nem a két végénél ragasztom ösze, hanem egy 2-dimenzióbeli gumilabda felső felének tekintem, és hozzáragasztom az alsó felét is) . Ekkor eiφ ugyanazt a 2φ szögű forgatást jelenti, mint -eiφ. Ha a komplex egységkört nézzük, akkor azt látjuk, hogy ebben az ábrázolásban a φ szögű akármilyen irányú forgatások azok az egységnyi abszolút értékű komplex számok, amelyek valós részének abszolút értéke cos(φ/2). Ha - a szokástól eltérően - a valós tengelyt függőlegesnek vesszük, akkor ez a körnek, mint 2-dimenzióbeli gömbnek a cos(φ/2) "szélességi körei".
Ez a kissé szokatlan ábrázolás azért jó, mert gyakorlatilag változatlanul átvihető a 3-dimenziós forgatásokra, azzal a különbséggel, hogy komplex számok helyett kvaterniókat veszünk, amik abban különböznek a komplex számoktól, hogy a képzetes részük nem 1, hanem 3-dimenziós. Egy kvaternió tehát (t, v ) alakú 4-dimenziós vektor, ahol t egy valós szám, v pedig egy 3-dimenziós vektor. A kvaternió valós része t, képzetes része pedig v. Ekkor tehát a komplex egységkörünk helyett egy - az egységnyi abszolút értékű kvaterniókból álló - 4-dimenziós gömbünk van, amelynek a cos(φ/2) valós résszel jellemzett "szélességi köre" az összes lehetséges különböző irányú φ szögű forgatásokat reprezentáló 3-dimenziós gömbhéj. A gömbhéjon lévő kvaterniók (cos(φ/2) , usin(φ/2)) alakúak, ahol u a forgatás tengelye irányába mutató egységvektor.
A kvaterniók között a vektorösszeadás mellett ugyanúgy egy szorzás művelet is definiálva van, mint ahogy a komplex számok esetében. A kvaterniók szorzása asszociatív és disztributív az összeadásra nézve, ellenben nem kommutatív.
Szorzási szabályok:
A tiszta valós (vagyis 0 képzetes részű) kvaterniók szorzata is tiszta valós és a valós komponense az egyes valós részek szorzatával egyezik meg: (t,0)(s,0) = (ts,0).
Egy (t,0) tiszta valós és egy (0,v) tiszta képzetes kvaternió szorzata a képzetes rész skalárszorosa: (t,0)(0,v) = (0, tv)
A tiszta képzetes kvaterniók szorzata pedig definíció szerint:
(0,v)(0,w) = (-vw, v x w ),
ahol vw a v és v vektorok skaláris szorzatát, v x w pedig a vektoriális szorzatukat jelöli.
Általánosságban tehát egy (s,v) és egy (t,w) kvaternió szorzata:
(s,v)(t,w) = (st - vw, sw + tw + v x w).
Állítás.
(s,v)-1 = (s, -v)/(s2 + |v|2).
Bizonyítás.
(s,v)(s, -v)/(s2 + |v|2) = (s2 + |v|2, sv -sv + v x v)/(s2 + |v|2) = (1, 0).
Következmény.
ha |u|2 = 1, akkor
(cos(φ/2) , usin(φ/2))-1 = (cos(-φ/2) , usin(-φ/2))
Állítás. Ha q = (cos(φ/2) , usin(φ/2)), akkor
q(0,v)q-1 = (0, v'),
ahol v' a v vektor u körüli φ szöggel való elforgatottja.
Bizonyítás.
Tekintve, hogy a (0,v) -> q(0,v)q-1 hozzárendelés v-ben lineáris, az állítás az alábbi két állítással ekvivalens:
q(0,v)q-1 = (0,v), ha v = u
q(0,v)q-1 = (0, vcosφ + (u x v)sinφ ), ha v merőleges u-ra , vagyis, uv =0 és u x v x u = v
Ezek az összefüggések pedig a
q(0,v)q-1 = (cos(φ/2) , usin(φ/2)) (0,v) (cos(φ/2) , -usin(φ/2))
szorzás elvégzésével egyszerűen láthatóan teljesülnek.
