Mint már említettem, az érintőnyaláb olyan vektornyaláb, amelynek a fibrumai a bázistér érintőterei. Ez önmagában persze még csak annyit mond, hogy a fibrumok a bázistér dimenziószámával azonos dimenziójú vektorterek. De ez még nem a teljes definíciója az érintőnyalábnak. Mielőtt elmondanám a pontos definíciót, mutatok egy feltűnő különbséget az érintőnyaláb és az általános értelmű vektornyaláb között.
Tekintsük most a hengerpalástot illetve a Möbius-szalagot végtelen hosszú palásttal, vagyis a [-1,1] fibrum helyett vegyük R-t fibrumnak. A struktúracsoportot ez a változtatás nem érinti, a trivializáló lefedések között továbbra is az identitás és a -1-gyel való szorzás az átmeneti függvények. Lévén, hogy R egy vektortér, ebből látjuk, hogy a kör, mint bázistér fölött két különböző topológiájú 1-dimenziós fibrumú vektornyaláb lehetséges: az egyik a triviális hengerpalást, a másik a nemtriviális Möbius-szalag. A kör érintőnyalábja is egy 1-dimenziós fibrumú vektornyaláb, de az az általános vektornyalábbal szemben már egyértelmű. A topológiáját meghatározza az, hogy ő érintőnyaláb. Speciel a kör érintőnyalábja a hengerpalásttal homeomorf, és nem a Möbius-szalaggal, vagyis triviális. De nem minden érintőnyaláb triviális, például a gömbé sem.
Végre elárulom, hogy az érintőnyalábok topológiája az azonos bázisterű és azonos fibrumú vektornyalábokkal ellentétben miért egyértelmű. Azért, mert tőlük megköveteljük, hogy a trivializációjuk a bázistér atlaszából származhasson, mégpedig úgy, hogy ha a bázistér egy U nyílt halmazához tartozó U → Rn térkép a Φ leképezés, akkor a nyaláb trivializációjának a Π-1(U) nyílt halmazához tartozó Π-1(U) → R2n homeomorfizmusa a (p,vi∂i) → (Φ(p), v1, v2...,vn) leképezés legyen. Ennek persze csak akkor van értelme, ha a nyaláb tipikus fibruma* Rn. Ezért ennek is szerepelnie kell az érintőnyaláb definíciójában (bár ez inkább csak formai megkötés, hiszen minden n-dimenziós vektortér izomorf és diffeomorf Rn-nel).
A papírcsíkokból összerakott hengerpalástunkból úgy tudunk Möbius-szalagot készíteni, hogy az egyik csík egyik végét megfordítjuk. Ugyanezt az érintőnyalábbal nem tudjuk megtenni, mert az átmeneti függvényt - mivel az a kör atlaszából származik - csak úgy tudjuk -1-szeresére változtatni, hogy az atlasz hozzá tartozó térképelemét -1-szeresére cseréljük. De ekkor ennek a koordinátavonalnak az érintője nemcsak itt, hanem végig -1-szeresére változik, tehát a képzeletbeli papírcsíkunk másik végén is - ha akarjuk, ha nem.
*Itt a tipikus fibrum azt jelenti, amit a fibrált nyaláb definícójában csak simán fibrumnak neveztem. Ez pontosabb szóhasználat, mivel a bázistér tetszőleges p pontja esetén Π-1(p)-t is (a p pont fölötti) fibrumnak nevezzük. Most látható, hogy a két dolog nem ugyanaz. A világosabb fogalmazás céljából ezentúl fibrumnak csak a Π-1(p) halmazokat fogom nevezni, a másikat pedig mindig tipikus fibrumnak.
