Newton törvényeitől a Higgs-bozonig

Vannak azok, csak rosszul keressük őket. A mágneses töltés fogalma az elektromos és mágneses jelenségek közti analógia alapján született. Ez alapján az analógia alapján logikusan várhatnánk az elektromos töltés mágneses megfelelőjét, de úgy tűnik, hogy a természet nem igazodik a mi logikánkhoz, és önfejűen szigorúan 0-ra állítja a mágneses töltések mennyiségét, bárhol, bármikor.

Ám felmerülhet az is, hogy esetleg mégsem a természet akar froclizni minket, hanem a szokásos analógia a mágneses és elektromos mennyiségek között kicsit szerencsétlen. A szokásos analógia az, hogy a

div D = ρ

Gauss-törvény párjának a

div B = 0

egyenletet feleltetjük meg. Ha D elektromos eltolás vektornak a B mágneses indukció vektor a párja, akkor a ρ elektromos töltéssűrűségnek a 0 mágneses töltéssűrűséget kell megfeleltetnünk, ezért mondjuk, hogy nincs mágneses töltés.

Most egy olyan megfeleltetést mutatok az elektromos és mágneses mennyiségek között, amelyben nincs ilyen lyuk, tehát fel sem merülhet, hogy kéne lennie valamiféle mágneses töltésnek. Ilyen értelemben ez a fajta analógia jobban illeszkedik a természet logikájához. Ezt a szokásos vektorfelfogással szemben a modern differenciálformás felfogásban* fogom megmutatni, mert az sokkal áttekinthetőbb (és persze blogunk stílusához is ez illik jobban). 

Ebben a felfogásban a ρ elektromos töltéssűrűség egy 3-forma. Mivel a ρ 3-forma dρ külső deriváltja egy 4-forma, ami a 3-dimenziós terünkben azonosan 0, ezért ρ zárt: dρ = 0. Poincaré lemmája szerint egy pontrahúzható tartományon értelmezett zárt formák egzaktak, vagyis van olyan eggyel alacsonyabb fokú forma, amelynek ő a külső deriváltja. A ρ 3-forma esetében ez az elektromos eltolás D 2-formája:

ρ = dD

(a szokásos vektoros jelölésekkel ez a ρ = div D egyenlet.)

A B mágneses indukció 2-formát ebben az egyenletben most ne a 2-forma D-vel, hanem a 3-forma ρ-val állítsuk párhuzamba! (Máris megvan az elektromos töltéssűrűség mágneses megfelelője, csak épp az 1-gyel kisebb dimenziójú) A - szokásos felfogásban a mágneses töltések létét kizáró - dB = 0 egyenlet (vektoros írásmódban: div B = 0) a B 2-forma zártságát jelenti. Tehát ismét a Poincaré-lemma szerint van olyan 1-forma, amelynek B a külső deriváltja. Ez pedig nem más, mint a vektorpotenciál:

B = dA

(vektoros felfogásban: B = rot A). A D elektromos eltolás 2-formának tehát mi a vektorpotenciál 1-formát feleltetjük meg.

A folytatás az, hogy a j elektromos áramsűrűség 2-forma analógja az E elektromos térerősség 1-forma lesz. A

dj + ∂_tρ = 0

kontinuitási egyenletnek ekkor a

dE + ∂_tB = 0

Maxwell- egyenlet, vagyis a Faraday-féle indukciós törvény felel meg.

Ezekben az egyenletekben a már felírt ρ = dD, illetve B = dA helyettesítést elvégezve a

d(j + ∂_tD) =  0

illetve a

d(E + ∂_tA) =  0

egyenletekhez jutunk, amik a j + ∂_tD 2-forma, illetve a E + ∂_tA  1-forma zártságát jelentik. Poincaré lemmája most a H mágneses térerősség 1-forma, illetve a Φ skalárpotenciál 0-forma létezését biztosítja:

j + ∂_tD =  dH

(ez az Ampére-féle gerjesztési törvény)

illetve

E + ∂_tA =  dΦ.

Ezzel az analógia teljes.

Az alábbiakban táblázatosan összefoglalom a most vázolt új analógiát és azt a hagyományos analógiát, amely alapján felmerülhetett a (valóságban nem létező) mágneses töltés fogalma.

új

hagyományos

Azon kívül, hogy az új analógia a hagyományossal ellentétben hézagmentes, a következőket érdemes észrevenni:

• a 8 mennyiség között a hagyományos táblázatban nem 8, hanem csak 7 összefüggés van, mert a dρ = 0 egyenlőséget a fizikusok nem szokták leírni (szemben a dB = 0 Maxwell-egyenlettel).
• Az E elektromos térerősség az elektromos mennyiségek oszlopából a mágnesesekébe, míg a H mágneses térerősség a mágneses mennyiségek közül az elektromosak közé került (ezek a hagyományos elnevezések a fenti újfajta logikával szerencsétlen módon ütköznek)

*ld. pl. Friedrich W. Hehl, Yuri N. Obukhov - A gentle introduction to the foundations of classical electrodynamics: The meaning of the excitations (D,H) and the field strengths (E, B)