De miért érdekes ez?
Azért, mert szeretném elmagyarázni - de mindenekelőtt megérteni - a principális nyalábok lényegét. A definíciójukat természetesen el tudom mondani (már el is mondtam valahol), és azt is tudom, hogy miután megismertük őket, másféle nyalábok már szinte egyáltalán nem fognak érdekelni minket. Érintőnyalábok helyett frame-nyalábokat fogunk vizsgálgatni, a Möbius-szalag helyett pedig az Elrettentő Példát. A mértéktérelmélet meg eleve csak principális nyalábokkal foglalkozik.
Mint már említettem, a principális nyaláb olyan nyaláb, amely fibruma a nyaláb struktúracsoportja feletti principális homogén tér. A principális homogén tér egy halmaz és a halmaz önmagára történő leképezéseinek egy olyan csoportja, amelyre fennáll, hogy a halmaz tetszőleges két eleméhez a csoportnak pontosan egy olyan eleme van, amelyik az egyiket a másikba viszi. Például az affin tér és az affin tér definíciójában szereplő vektortér (az összeadásra, mint csoportműveletre nézve) ilyen, ha egy v vektort olyan leképezésnek tekintünk, amely a p ponthoz azt a q elemet rendeli, amelyre q - p = v. Tetszőleges csoport, mint halmaz, a csoportelemekkel történő balról való szorzással, mint csoporthatással principális homogén teret alkot. Természetesen az Elrettentő Példa fibruma, vagyis a {-1,1} halmaz is principális homogén tér, ha csoportműveletnek a szorzás tekintjük. Ráadásul ez a csoport egyúttal ennek a nyalábnak a struktúracsoportja is, tehát az Elrettentő Példánk egy principális nyaláb!
Azt szokták mondani, hogy az EP a Möbius-szalag principális nyalábja. Ezt úgy értik, hogy a Möbius-szalagnak van olyan lokális trivializációja, amelyhez tartozó struktúracsoport a kételemű csoport. És itt jön az, amivel foglalkozni szeretnék. Az ilyen módon egy fibrált nyalábhoz rendelt principális nyaláb vizsgálatával például megállapítható, hogy egy nyaláb triviális-e vagy sem: pontosan akkor triviális ő is és a principális nyalábja is, ha a principális nyalábjának van globális szelése. Tudjuk, hogy az Elrettentő Példának nincs, tehát e tétel szerint sem ő, sem a Möbius-szalag nem triviális nyaláb.
Van azonban egy bökkenő. Egy nyaláb lokális trivializációja nem egyértelmű, tehát a struktúracsoportja sem, tehát a principális nyalábja sem. Például egy hengerpalást triviális nyaláb, hiszen ő a kör és egy intervallum Descartes-szorzatával homeomorf. De nem kötelező nekünk így trivializálni. Összeállíthatunk papírból egy hengerpalástot például három papírcsík átfedéssel történő összeragasztásával: az 1. csík 2. végét a 2. csík 1. végéhez, a 2. csík 2. végét a 3. csík 1. végéhez, a 3. csík 2. végét pedig az 1. csík 1. végéhez ragasztjuk. Az így hengerpalásttá összeállt alakzatra egymással párhuzamos körbemenő vonalakat rajzolhatunk, és megszámozhatjuk őket mondjuk -1-től 1-ig a valós számokkal. Az átfedő részeken a vonalak az egymásra ragasztott papírcsíkok mindegyikére rákerülnek (mondjuk indigósak a papírcsíkok). Az átmeneti függvény így mindhárom átfedő tartományban az identitás, a struktúracsoport tehát az egyelemű csoport, a hengerpalástunk principális nyalábja tehát az S1 × {e} triviális nyaláb.
De megtehetjük azt is, hogy a második csíkot megfordítjuk. Ekkor az 2. csík két végén az átmeneti függvényünk a -1-gyel való szorzás lesz, a 3. és 1. csík egymással átfedő részén pedig marad az identitás. Így egy olyan trivializációhoz jutunk, amelynek a struktúracsoportja ugyanaz, mint a Möbius-szalagé. A bázistere is ugyanaz. A principális nyalábja mégis különböző, hiszen az övének van globális szelése, az EP-nek viszont nincs.
Ez ezért érdekes, mert a mértéktérelméletben csak lazán a struktúracsoport megnevezésével utalnak egy principális nyalábra. A Maxwell-elmélet principális nyalábját például csak U(1)-nyalábnak emlegetik. Most viszont azt láttuk, hogy ugyanaz a bázistér és ugyanaz struktúracsoport egymástól eltérő principális nyalábokhoz is tartozhat!
