A Nature 1987. szeptemberi számában megjelent Ian Stewart egy cikke "The symplectic camel" címmel. A szimplektikus tevét nem ő találta ki, hanem Mihail Leonyidovics Gromov, mintegy két évvel azelőtt. Ian Stewartnak van egy matematikát népszerűsítő könyve magyarul is, abban nem szerepel a szimplektikus teve. Attól még nagyon jó könyv.
Matolcsi Tamás matematikai fizika jegyzetében már 1979-ben a szimplektikus sokaságokra építi a klasszikus mechanikát. A téma akkor még meglehetősen új volt. A szimplektikus topológia Ian Stewart szerint abban az időben még gúny tárgya volt egyes matematikus körökben, és nem a köztiszteletnek örvendő szimplektikus teve szimbolizálta, hanem a haszontalanság csimborasszójaként számon tartott szárított elefánt. A szárított elefántot Mark Kac találta ki. A Chimborazo egy jó magas hegycsúcs Ecudorban, Quitotól délre. Mark Kac Erdős-száma 1, Gromové 3, Ian Stewartét és Matolcsiét nem tudom. Ez nem jelenti azt, hogy Kacnak van igaza.
Ian Stewart ékes szavakkal ecseteli, hogy a szimplektikus topológia (vagy szimplektikus geometria) mennyire természetes leírását adja egy csomó dolognak, többek között a newtoni, pontosabban szólva hamiltoni klasszikus mechanikának. Matolcsi is pontosan erre használja. Érdemes elolvasni.
Matolcsi tárgyalásának közvetlen történelmi és szellemi előzménye Jean-Marie Souriau Structure of Dynamical Systems című könyve volt, de én azt a könyvet nem nagyon tudtam megérteni a benne szereplő sok szép trombita ellenére sem. Sőt annak dacára sem, hogy az eredeti francia nyelvű kiadás után - mivel azt nem értettem - beszereztem az angol nyelvűt is.
Állítólag a szimplektikus topológia a helyes megnevezés, és nem a szimplektikus geometria, mivel egy szimplektikus sokaságoknak nincsenek lokális invariánsai. A lokális invariáns olyasmi, mint a görbület, vagy a torzió. Az, hogy szimplektikus sokaságokon nincs ilyen, az Darboux egy tétele. Darbouxnak ez a tétele azt mondja, hogy az azonos dimenziójú szimplektikus sokaságok lokálisan szimplektomorfak egymással. Ez hasonló jellegű állítás, mint az, hogy a Riemann-terek lokálisan izometrikusan egymásra képezhetők, csak ez utóbbi állítás nem igaz. Egy gömb egy darabja nem képezhető le nyújtás nélkül a sík egy darabjára, mivel más a görbülete.
Ian Stewart felvillantja azt az érdekes nézőpontot is, amikor a szimplektikus formát (ami egy nemdegenerált antiszimmetrikus bilineáris forma) a skalárszorzat egy variánsának tekintjük. Ebben a felfogásban egy szimplektikus vektortér olyan, hogy minden vektor hossza 0 és merőleges saját magára. (Ez végülis nem is olyan nagyon furcsa, hiszen a Minkowski-tér fényszerű vektorai is ilyen tulajdonságúak.) De ez csak egy lehetséges nézőpont, valójában a szimplektikus formáknak inkább a térfogathoz van közük. Azért még majd erre a nézőpontra is visszatérünk, de most már ideje lenne tudnunk, miről is beszélünk valójában.
Mint már volt szó róla, egy n-dimenziós vektortérben n darab vektor által kifeszítet paralelepipedon térfogatát egy nem azonosan nulla, antiszimmetrikus n-lineáris forma definiálja: V(a1,... ,an) = |ω(a1,... ,an,)|, ahol ω egy nem azonosan nulla, antiszimmetrikus n-lineáris forma. Ez egyúttal egy Haar-mérték is, mivel eltolásinvariáns.
Hasonlóképpen, egy n-dimenziós irányítható sokaság térfogatán egy rajta értelmezett pozitív n-forma integrálját értjük (az, hogy pozitív, azt jelenti, hogy az irányítást definiáló n-formának pozitív számszorosa). Mivel az eltolás művelete differenciálható sokaságokon általában nincs definiálva, arról nincs szó, hogy ez Haar-mérték lenne. Ez egy Lebesgue-mérték.
Multilineáris formákkal egy általános-, vagy középiskolai diák nemigen találkozik, a terület és térfogat fogalmával ellenben igen. Az iskolában úgy tanultuk, hogy a paralelogramma területe: alapszor magasság. Ez első ránézésre nem antiszimmetrikus, hanem szimmetrikus formával van kapcsolatban: az "alap" az alap hosszát jelenti, a "magasság" a magasságét, ráadásul a magasság merőleges az alapra. A hossz és merőlegesség viszont skalárszorzattal van definiálva: |a|2 = g(a, a), az a merőleges b-re pedig azt jelenti, hogy g(a, b) = 0. Itt g egy nemelfajuló, szimmetrikus bilineáris forma. A paralelepipedon térfogata pedig alapterületszer magasság, ahol az alapterület számítását épp most mondtuk el, a "magasság" pedig az alaplap síkjára merőleges vektor hosszát jelenti. Itt is hossz, és merőlegesség, vagyis ugyanaz g nemelfajuló, szimmetrikus bilineáris forma szerepel.
Most akkor szimmetrikusra, vagy antiszimmetrikusra van szükségünk? Nézzük meg jobban azt a paralelogrammát!
Feszítse ki a paralelogrammánkat az a és b vektor. A paralelogramma területe
T = |a|·|b|·sinα,
ahol α az a és b vektorok által bezárt kisebbik szög (α < π). Ez valójában nem más, mint az a vektor 90 fokkal való R(a) elforgatottja és a b vektor skalárszorzatának az abszolútértéke:
T = |g(R(a), b)|
Itt tehát R a 90 fokkal pozitív irányban való elforgatás operátora.
Az, hogy az R operátor elforgatás, azt jelenti, hogy izometria és az origót megtartja. Vagyis a vektorok normáját megtartja, vagyis a skalárszorzatukat is.
Mazur és Ulam 1932-ben bebizonyították, hogy tetszőleges normált vektortér izometriái affin transzformációk. Az affin azt jelenti, hogy egy lineáris transzformációból és egy eltolásból összetehető. A forgatások - lévén, hogy eltolásmentesek - Mazur és Ulam tétele szerint tehát lineáris transzformációk. Az abszolútértékjelben tehát egy bilineáris forma van. Ez a bilineáris forma antiszimmetrikus, vagyis g(R(a), b) = - g(R(b),a). Ez szemléletesen is nyilvánvaló, de formálisan is kijön1.
Az ω(a,b) = g(R(a),b) forma nemelfajuló (hiszen b = R(a)-t véve ω(a,b) csak akkor 0, ha a = 0), tehát egy szimplektikus forma. Két dimenzióban tehát a szimplektikus transzformációk azonosak a területtartó transzformációkkal. Egy kétdimenziós szimplektikus teve azonos a kétdimenziós térfogattartó (azaz területtartó) tevével, és persze át tud menni a tű fokán, hiszen tetszőleges vékonnyá tudja magát nyújtani térfogattartó, vagyis területtartó, vagyis szimplektikus módon. Hogy ez nagyobb (tehát legalább 4) dimenzióban is így vajon van-e, nos épp ez az, amit tudni szeretnénk. De miért 4, miért nem 3? Mi van a legérdekesebb 3-dimenzióval? Hát, sajnos azon nem adható meg szimplektikus forma. És különben sem a 3-dmenzió a legérdekesebb, hanem a 6, mivel egy tömegpont klasszikus állapottere (fázistere) 6-dimenziós.
Miért is nem adható meg szimplektikus forma 3-dimenzióban? Hiszen az ω(a,b) = g(R(a),b) formát ott is megadhatjuk! Igen, de 3-dimenzióban az sajnos nem antiszimmetrikus. Vegyünk egy a forgástengely irányába mutató (nemnulla) v vektort, arra R(v) = v, tehát ω(v,v) = g(R(v),v) = g(v,v), ami nem lehet egyenlő -g(v,v)-vel vagyis nem lehet 0, mivel g nemelfajuló.
De ezzel még csak azt láttuk, hogy g(R(a),b) nem jó 3-dimenzióban szimplektikus formának. Talán valami más.
Sajnos nem. Az alábbiakban megmutatom, hogy páratlan dimenziós vektortéren nem lehet szimplektikus formát megadni. Ezt a 2n+1 -dimenziós terekre n szerinti teljes indukcióval teszem.
Bizonyítás.
Az állításunk n=0-ra (vagyis 1-dimenziós vektortérre) nyilvánvalóan igaz. Indukciós feltevésként tegyük fel, hogy n-re ( vagyis 2n+1 dimenziós térre) már bizonyítottuk. Tekintsünk egy 2n + 3 dimenziós V vektorteret. Indirekt módon belátjuk, hogy ezen nincs szimplektikus forma. Tegyük fel ugyanis, hogy van. Ekkor tetszőleges e ≠ 0 vektorhoz van olyan f vektor, amellyel ω(e,f) ≠ 0, Jelöljük az e és f vektorok által kifeszített síkot W-vel. Azt állítom, hogy ennek van "ortogonális" komplementer altere, vagyis, hogy a Q = {q ∈ V :
∀w ∈ W ω(q,w) = 0} halmazt véve egyrészt Q ∩ W = {0}, másrészt tetszőleges v vektor felírható egy Q-beli és W-beli vektor összegeként. Ha ugyanis ez így van, akkor Q egy 2n+1-dimenziós altere V-nek, és a V-n adott szimplektikus forma ezen sem lehet elfajuló, így az indirekt feltevésünk ellentmondásba kerül az indukciós feltevésünkkel.Tegyük fel, hogy v ∈ Q ∩ W. Ekkor egyrészt v = ae +bf valamilyen a és b skalárral, másrészt ω(v,e) = ω(v,f) = 0. Ekkor ω(v,e) = -b, és 0 = ω(v,f) = a, tehát v = 0.
Legyen most v ∈ V tetszőleges vektor, c = ω(v,e), d = ω(v,f). Ekkor a (-cf + de) ∈ W és a (v + cf -de) ∈ Q vektorok összege.
Kész.
Ellenben páros dimenziós tereken mindig megadható szimplektikus forma. A 2n dimenziós téren tetszőleges e1,...en,,f1,,...fn bázist véve az
ω(ei, ej) = ω(fi, fj) = 0,
ω(ei, fj)= δij
definícióval értelmezett lineáris forma szimplektikus, ezt nem nehéz látni.
Érdemes látni, hogy egy 2n-dimenziós vektortérben egy szimplektikus forma n-edik külső hatványa egy térfogati forma. Ezt szimplektikus térfogati formának, vagy Liouville-formának is nevezik. És viszont: ha egy 2-forma n-edik hatványa térfogati forma (vagyis, ha nem azonosan nulla), akkor maga a 2-forma nem elfajuló, tehát szimplektikus. Egyszóval a szimplektikus teve magasabb dimenziók esetén is térfogattartó. Annak a belátását, hogy térfogattartó módon át tud menni a tű fokán, az olvasóra bízom. Az viszont már közel sem olyan egyszerű kérdés, hogy ezt egyúttal szimplektikus módon meg tudja-e tenni. Vajon erősebb feltétel egy transzformáció szimplektikussága a térfogattartóságnál, vagy sem?
(folyt. köv.)
1 g(R(a), b) + g(R(b),a) = g(R(a), b) + g(R(b),a) + g(R(a), a) + g(R(b),b) = g(R(a), a + b) + g(R(b),a + b) = g(R(a + b), a + b) = 0. Itt kihasználtuk egyrészt R linearitását és g bilinearitását, másrészt azt, hogy R egy 90 fokos elforgatás, vagyis tetszőleges x vektorra g(R(x),x) = 0.
