A differenciálforma (más néven k-forma) egy differenciálható sokság minden pontjában az ottani érintőtéren értelmezett antiszimmetrikus multilineáris forma. Vagyis minden érintőtéren egy olyan függvény, ami k darab érintővektorhoz egy valós számot rendel úgy, hogy ha a vektorok közül bármelyik kettőt felcseréljük, akkor az ehhez a vektor k-shoz hozzárendelt szám a negatívjára változik:
ω(v1, v2, ... vi,...vj,...,vk) = -ω(v1, v2, ... vj,...,vi...,vk).
A differenciálforma tehát k darab X1, X2, ... ,Xk vektormezőhöz egy a sokaságunkon értelmezett p → ω(X1(p), X2(p), ... ,Xk(p)) valós függvényt rendel. A differenciálformától megköveteljük még azt is, hogy ha a k darab vektormező mindegyike sima, akkor ez a függvény is sima legyen (egy vektormezőt pedig akkor nevezünk simának, ha a sokaságon értelmezett sima függvényekhez sima függvényt rendel. Egy függvényt pedig akkor nevezünk simának, ha bármely térképpel vett kompozíciója végtelen sokszor deriválható)
Differenciálforma például a
dx1 ∧ dx2 : (ξ, η) → dx(ξ)dy(η) - dx(η)dx(ξ) = ξxηy- ηx ξy
2-forma.
Ilyen kifejezéssel legutóbb a Haar-mértékről szóló bejegyzés végén találkoztunk. A dx1∧dx2 differenciálforma abszolútértéke egy-egy Haar-mértéket definiál egy 2-dimenziós sokaság minden pontja feletti érintőtéren. A Haar-mérték, mint már említettük egy eltolás-invariáns mérték. Eltolás alatt tetszőleges lokálisan kompakt topologikus csoport csoportműveletét érthetjük, az ilyen csoportokon van értelme a Haar-mértéknek. Speciálisan ez a csoport itt egy vektortér az eltolással, mint csoportművelettel. Viszonylag egyszerűen bizonyítható, hogy a Haar-mérték konstans szorzó erejéig egyértelmű.
Az Rn vektortér esetén van egy kitüntetett Haar-mérték, ami már ezt a konstans szorzóban való bizonytalanságot sem tartalmazza. Ez az ú.n. Lebesgue-mérték, amely az R-en definiált Lebesgue-mértékből alkotott szorzatmérték. R-en a Lebesgue-mérték definíciója a következő. Egy nyílt (a, b) intervallum Lebesgue-mértéke a |b - a| szám, diszjunkt nyílt intervallumok uniójának a mértéke az intervallumok mértékeinek az összege, R egyéb mérhető halmazáé pedig az őt lefedő diszjunkt, nyílt intervallumok mértékeinek az infimuma.1 Mivel a Lebesgue-mérték eltolás-invariáns, egyúttal egy Haar-mérték is (az Rn vektortér többi Haar-mértéke pedig ennek konstansszorosa).
Bár épp azt mondtam, hogy a Lebesgue-mérték kizárólag Rn-en van értelmezve, most mégis azon fogunk mesterkedni, hogy kiterjesszük tetszőleges n-dimenziós differenciálható sokaságra is.2 Először nézzük, hogy lehet Rn helyett tetszőleges n-dimenziós vektortéren definiálni. Nyilván lehet, hiszen minden n-dimenziós vektortér izomorf Rn-nel. Nos, legyen a V vektortér és Rn között ez az izomorfia a φ: V → Rn leképezés. Ekkor V egy H részhalmaza Lebesgue-mértékének tekintsük a μφ(H) = λ(φ(H)) számot, ahol λ az Rn-beli Lebesgue-mérték. Ez a definíció persze függ az φ izomorfia megválasztásától. Ha φ helyett ψ-tválasztunk, akkor a mértékünk μψ(H) = λ(ψ(H)) lesz. A két mérték között a kapcsolat:
μψ(H) = |det(ψ º φ-1)|μφ(H).
Itt det(ψ º φ-1) a ψ º φ-1 nemszinguláris lineáris transzformáció determinánsa. A μφ mértéket az Rn-en adott λ mérték φ-1 általi képének fogjuk nevezni, és általában is, ha adva van az M és M' sokaság között egy φ: M → M' diffeomorfizmus, akkor M differenciálható sokaságon adott μ mérték φ általi képének azt a μ' M'-n adott mértéket nevezzük, amelyre μ'(H') = μ(φ-1(H')).
Ha a fenti konstrukciót általánosítjuk, és φ-től nem követeljük meg, hogy izomorfia legyen, hanem csak azt, hogy diffeomorfizmus, akkor ez a módszer nemcsak vektorterekre, hanem egy tetszőleges n-dimenziós M sokaság bármelyik (U, φ) térképére is alkalmazható: az U-n adott Lebesgue-mértéknek Rn Lebesgue-mértékének a φ-1 leképezés általi képét , vagyis a H → μφ(H) = λ(φ(H)) mértéket nevezzük. Ha az (U, φ) térkép helyett egy (U, ψ) térképet használunk, akkor a μφ és a μψ mérték között a μψ = |Jθ º φ|μφ kapcsolat áll fenn, ahol Jθ a θ = ψ º φ-1 leképezés Jacobi-determinánsa. Jθ º φ egy U-n értelmezett valós értékű függvény. Ahhoz, hogy értelmezni tudjuk a |Jθ º φ|μφ kifejezést, tudnunk kell, hogy mit értsünk egy mérték függvényszeresén. Az M-en adott mértékek ekvivalensek az M-en értelmezett korlátos, folytonos függvényeken értelmezett korlátos lineáris funkcionálokkal. Korlátosnak akkor nevezünk egy L lineáris funkcionált, ha létezik olyan c valós szám, hogy |L(f)|< c · sup(|f|). Egy μ mérték egy f függvényhez az ∫M f dμ számot rendeli. Adott g M-en értelmezett folytonos valós függvény esetén gμ definíció szerint az a mérték, ami minden f függvényhez a ∫M gf dμ számot rendeli. Egy μ mértéket pozitívnak nevezünk, ha nemnegatív függvényhez nemnegatív számot rendel (a linearitás miatt ez azt is jelenti, hogy nagyobb függvényhez nagyobb számot rendel).
Ennek ismeretében már nem csak egy (U, φ) térképen, hanem az egész M sokaságon meg tudjuk adni a Lebesgue-mérték definícióját: Egy μ pozitív mértéket Lebesgue-mértéknek nevezünk, ha tetszőleges (U, φ) térképén a μ mérték φ általi képe fλ alakú, ahol f egy U-n sehol nem eltűnő sima függvény. Ilyen mérték minden n-dimenziós sokaságon létezik.3
De mi köze ennek a differenciálformákhoz - mármint azon kívül, mit a Haar-mértékkel kapcsolatban láttunk? A következő.
Egy n-dimenziós differenciálható sokaságot irányíthatónak nevezünk, ha megadható rajta egy sehol sem eltűnő n-forma. Mivel az n-lineáris formák 1-dimenziós vektorteret alkotnak, két sehol sem eltűnő n-forma vagy mindenütt pozitív, vagy mindenütt negatív függvényszerese egymásnak. Az egymástól pozitív függvényszorzóban eltérő sehol sem eltűnő n-formák tehát egy-egy ekvivalenciaosztályt alkotnak. A sokaság irányításán ez egyik ekvivalenciaosztály kiválasztását értjük, az ebbe az ekvivalenciaosztályba tartozó differenciálformákat pozitív, a többit pedig negatív irányításúnak nevezzük.
A továbbiakban tegyük fel a sokaságunkról, hugy irányítható, és meg is van adva egy irányítása. Egy (U, φ) térkép a fentiek szerint meghatároz egy μφ Lebesgue-mértéket U-n. Ugyanakkor ez a térkép egy dx1 ∧ dx2 ... ∧ dxn differenciálformát is meghatároz U-n. Ha az adott ω n-formához találunk olyan (U, φ) térképet, hogy U-n ω = dx1 ∧ dx2 ... ∧ dxn, akkor ω tetszőleges H ⊆ U mérhető halmazon való integráljának vagy μφ(H )-t, vagy -μφ(H )-t nevezzük, aszerint, hogy a dx1 ∧ dx2 ... ∧ dxn forma pozitív, vagy negtív irányítású. Belátható, hogy ez a definíció nem függ az (U, φ) térkép konkrét megválasztásától. Szerencsénkre igaz az, hogy tetszőleges sehol sem eltűnő ω n-formához minden p ponthoz található ilyen (U, φ) térkép4. Tekintve, hogy dx1 ∧ dx2 ... ∧ dxn az n-formák terének bázisa minden pont felett, tetszőleges (akár valahol eltűnő) ω n-forma ω = fdx1 ∧ dx2 ... ∧ dxn alakban írható. Ez összefüggés módot ad arra, hogy a definíciónkat a sehol sem eltűnő differenciálformákról kiterjeszthessük tetszőleges differenciálformára. Ez az előző definíciónk módosítása úgy, hogy nem olyan térképet keresünk, amellyel ω = dx1 ∧ dx2 ... ∧ dxn , hanem tetszőlegeset használhatunk. Ha ez a térkép olyan, amellyel ω = fdx1 ∧ dx2 ... ∧ dxn és dx1 ∧ dx2 ... ∧ dxn pozitív irányítású, akkor az n-formánk integrálja a H halmazon definíció szerint az fμφ(H ) szám. Ez a definíció ugyancsak egyértelmű, vagyis szintén nem függ az (U, φ) térkép megválasztásától.5
1 Az itteni definíció az ú.n. külső Lebesgue-mértéket definiálja, ami Lebesgue-mérhető halmazok esetén azonos a Lebesgue-mértékkel. R egy H részhalmazát akkor mondjuk Lebesgue-mérhetőnek, ha egyrészt korlátos, vagyis lefedhető egyetlen T nyílt intervallummal, másrészt az itt definiált külső mértéke megegyezik a belső mértékével. A H halmaz belső mértékét először azokban a speciális esetekben definiáljuk, amikor H nyílt, illetve ha zárt. Nyílt halmaz belső mertéke definíció szerint a külső mértékével egyenlő (tehát a korlátos nyílt halmazok definíció szerint Lebesgue-mérhetők). A T nyílt intervallumba írt zárt H halmaz belső Lebesgue-mértéke pedig definíció szerint T mértékének és a T \ H nyílt halmaz mértékének a különbsége. Tetszőleges korlátos H halmaz belső mértékét most már definiálni tudjuk: a H halmaz zárt részhalmazai belső Lebesgue-mértékeinek a szuprémuma.
2 Mivel ezt előttünk már más is megtette, tulajdonképpen nem igaz, hogy a Lebesgue-mérték kizárólag Rn-en van értelmezve, de mi most mégis úgy teszünk, mintha ez így lenne.
3 ld. J. Dieudonné: Treatise on Analysis vol. III., 163. old.
4 ld. J Moser On The Volume Elements On a Manifold, Trans. Amer. Math. Soc. 120 (1965), pp. 286–294. Ezúton mondok köszönetet Gergo73-nak a cikk megtalálásáért valamint a téma felderítésében nyújtott segítségéért és kritikai észrevételeiért.
5 ld. J. Dieudonné: Treatise on Analysis vol III. 170-172. old.
