Vegyük a newtoni téridőt, vagyis az (E, T, Π, X) fibrált nyalábot. Itt az E 4-dimenziós sima sokaság az események halmaza, vagyis a téridő, T (1-denziós sima sokaság) az időpontok halmaza, és Π az a függvény, amely minden eseményhez hozzárendeli a bekövetkeztének az időpontját. Az egyidejűleg bekövetkező események (vagyis adott t ∈ T esetén a Π-1(t) halmaz) E-nek egy X-szel homeomorf részhalmazát alkotják (ld. az 1. bejegyzést). Egy pontszerű részecske világvonala a részecskével történő események halmaza, vagyis E bizonyos részhalmaza. Korábbi bejegyzéseimben némileg pongyolán azt mondtam, hogy a világvonalak a téridőbeli görbék, pedig azok csak bizonyos görbék értékkészletei. A görbe paraméterezése (vagyis az adott világvonallal, mint értékkészlettel rendelkező R → E függvény) fizikailag indifferens, vagyis tetszőlegesen megadható, éppúgy, mint E, T, és X koordinátázása. Görbék emlegetése helyett tulajdonképpen azt kellett volna mondanom, hogy a világvonalak E-nek bizonyos 1-dimenziós részsokaságai (ez egyúttal egy megszorítás is, mivel a nem injektív függvények kiesnek a szóba jöhető görbék közül). A bizonyos kitétel pedig annak a fizikai posztulátumnak a teljesülését jelenti, hogy egyrészt egy részecskével egyidejűleg csak egy esemény történhet, másrészt, a a részecskénk "az időben folytonosan mozog". Ez a két feltétel a modellünkben pontosan azt jelenti, hogy a világvonalak a nyalábunk szelései. Itt a szelés szót az általam mondott eredeti értelemben, vagyis E bizonyos részhalmazaként értem (ld. a 10. bejegyzést). A 10. bejegyzés 1. megjegyzése szerint a szelések azonosíthatók az Π(s(x)) = x tulajdonságú s: T → E : függvényekkel. Igaz, így is függvénynek tekintjük a világvonalunkat, de mégis jobb, mintha görbének tekintenénk, mert így maga a függvény is rögzítve van, nemcsak az értékkészlete.
De miért beszélek erről?
Azért, mert kicsit bajban vagyunk a newtoni (abszolút) sebesség definiálásával. Sebességként ugyanis a görbék érintővektorát (mint derivációt) tudnánk értelmezni, ám így (vagyis a 12. bejegyzés (1) összefüggésével) értelmezve a sebesség magától a görbétől, tehát nemcsak az értékkészletétől, más szóval nem csak a világvonaltól, mint halmaztól, hanem annak - tetszőlegesen megadható - paraméterezésétől is függ, tehát fizikailag nem jóldefiniált. A szelésként felfogott világvonal paraméterezése ugyan fix, de annak meg az értelmezési tartománya nem a valós számok egy intervalluma, vagyis az s(τ) szeléssel nem tudjuk az f(s(τ)) függvény τ szerinti deriváltját értelmezni, ami az érintővektor definíciója lehetne. Ha viszont megadjuk a T halmazunknak egy tetszőleges φ: T → R koordinátázását, akkor f º φ-1 (f ∈ C∞(E)) már egy E-beli görbe, tehát rá ismét alkalmazható a 12/(1) definíció. Ám ebben megint benne van az önkényes φ függvény. Megoldhatnánk úgy is a dolgot, hogy nem az érintővektorokat nevezzük sebességeknek, hanem az
(1)
operátorokat. Ezek az operátorok értelemszerűen éppúgy vektorteret alkotnak, mint a derivációk.
Azért lehet ennél egyszerűbben is. Vegyük észre, hogy ha φ és ψ T két különböző koordinátása és
,
akkor
.
Bizonyítás.Mivel f º s º φ-1 = f º s º ψ-1 º ψ º φ-1 , ezért s.(φ,f) = s.(ψ,f)(ψ º φ-1)' , ahol (ψ º φ-1)' a (ψ º φ-1) valós függvény deriváltját jelenti. Az állításunk tehát pontosan akkor igaz, ha (ψ º φ-1)' =1. Ez viszont könnyen belátható, ugyanis a (φ-1). = (ψ-1). feltétel definíció szerint azt jelenti, hogy tetszőleges f: T→ R differenciálható függvényre (f º φ-1)' = (f º ψ-1)'
Speciálisan f-et ψ-nek választva (ψ º φ-1)' = (ψ º ψ-1)' = 1.
A téridő p pontjában a newtoni sebességek ezek szerint az (1) definíció helyett értelmezhetők Tπ(p)T × C∞(E) → R leképezésként, vagy másképp felfogva bizonyos tulajdonságú vp: Tπ(p)T → TpE : t → v(t) nyaláb-leképezésekként is. A bizonyos tulajdonságok:
- Linearitás
- dΠ º v = idTπ(p)T
A linearitás úgy értendő, hogy ha v(t) ∈ TpE, akkor v(λt) ∈ TpE és v(λt) = λv(t). (1-dimenziós vektortéren értelmezett függvények esetén a linearitás a homogenitással azonos). Az, hogy ez teljesül, az egyrészt a (1) definícióból, másrészt abból látható, hogy egyrészt a T inverz koordinátafüggvényei (φ-1) és azok érintővektorai ((φ-1).)közt is, másrészt ezen inverz koordinátafüggvények és s. között is lineáris kapcsolat áll fenn. A dΠ º v = idTπ(p)T , vagyis a dΠ(v(t)) = t összefüggés pedig Π(s(φ-1(t)) = φ-1(t) következménye. A t ∈ T időpontban a téridőnek a t feletti Et fibrumában lévő p pontjában a newtoni sebességek tehát a {v | v ∈ Lin(TtT →TpE), dΠ º v = idTtT } halmaz elemei.
)){kind=link}