Nem üveggolyó, hanem konnexió. És igazából nem is távolság, hanem norma. Ugyanaz, amelyikről az előző bejegyzésben volt szó. Sőt tulajdonképpen nem is a normáról szeretnék beszélni, hanem a területről. Vagyis arról, hogy terület-fogalom van távolságfoglom nélkül is. És mégcsak nem is ez a terület legérdekesebb tulajdonsága. Neumann János például bebizonyította, hogy egy egységnégyzetet lehet felszabdalni, és a részeit területtartó (!) transzformációval átrendezni úgy, hogy az eredmény két darab egységnégyzet legyen. Ez komoly, akárki ellenőrizheti, amit mondok, itt. A dolognak csak a neve paradoxon, valójában ez egy matematikai tétel, de annyira ellentmond a hétköznapi intuíciónknak, hogy pradoxonnak nevezték el. Megvan ugyanez három dimenzióban is, azt úgy hívják, hogy Banach-Tarski paradoxon (na, ez hálistennek magyarul is megvan), és az is matematikai tétel és nem paradoxon. A fizikusoknak is vannak paradoxonnak nevezett tételeik, például a hidrodinamikai paradoxon nevű, amit mindenki tanul középiskolában.
De most nem erről akarok beszélni. Van mondjuk egy ember, aki a földjét el akarja cserélni egy ugyanakkora területű másik földre. A földje parallelogramma alakú, és a másik darab föld is az. Pechére a területek csak egy 2-dimenziós vektortérben vannak, amelyen se norma, se skalárszorzat nincs definiálva. Ez abban nyilvánul meg, hogy az emberünknek nincs se mérőszalagja, se szögmérője. Vannak viszont jól kiképzett földmérő munkások, akiket arra képeztek ki, hogy mindig pontosan egyformákat lépjenek adott irányban (akár előre, akár hátra). Minden munkásnak megvan a saját iránya, amerre léphet, de két különböző irányban lépkedő munkás lépéshosszát nem tudjuk összehasonlítani, csak az azonos irányban lépkedőkét. Bezzeg, ha lenne egy konnexiónk! Mármint azon a fibrált nyalábon, amelynek a teljes tere az origótól megfosztott sík, a bázistere a kör, fibrumai az origóból kiinduló nyílt félegyenesek, a projekciót pedig a félegyeneseknek egy az origót megkerülő téglalapvonallal való metszéspontja definiálja (a téglalap a körrel homeomorf, tehát topológiai értelemben kör). A fibrumok 1-dimenziós alterek részhalmazai (1-dimenziós kúpok), és normáltnak tekinthetők, hiszen két vektor bennük mindig valamilyen pozitív skalárszorosa egymásnak, és ezt a skalárt nevezhetjük a vektorok hossz-arányának (vagyis igazából nem hossz, hanem hossz-arányok vannak, de nekünk a területméréshez is elég, ha területarányokat tudunk, a terület konkrét értéke nem érdekel minket). Egy konnexió definiálná a fibrumokat átszelő "vízszintes" görbéket, jelen esetben a köröket, amivel egyből normált térré válna a síkunk, és ha ráadásul még ez a norma olyanra sikeredne, hogy teljesíti az előző bejegyzésben leírt paralelogramma azonosságot, akkor a síkunk mindjárt euklideszi tér lenne, skalárszorzattal, szöggel, szinusszal, koszinusszal, merőlegességgel. Így persze nem lenne kunszt területet sem mérni.
Az érdekes az, hogy a területarányok egy vektortérben akkor is egyértelműen adva vannak, ha nincs se merőlegességünk, se koszinuszunk, se szinuszunk, se szögünk, se skalárszorzatunk, de még egy árva normánk sem, nemhogy paralelogramma-azonosságunk! A terület egyszerűen egy Haar-mérték, vagyis egy olyan függvény, amely a sík kompakt halmazaihoz, illetve az e halmazok által generált szigma-algebra elemeihez egy nemnegatív számot rendel hozzá úgy, hogy egyrészt mérték legyen (vagyis szigma-additív, és az üres halmazon eltűnő), másrészt az úgynevezett regularitási feltételeknek eleget tegyen. Ezek elég természetes feltételek, azt kötik ki, minden halmaz területe a kompakt részhalmazai területének a szuprémuma, az őt tartalmazó nyílt halmazokénak pedig az infimuma legyen. A poén az, hogy ha ettől a mértéktől mindössze annyit követelünk még meg, hogy az eltolás ne változtassa meg egy halmaz mértékét, akkor ez a mérték egy konstans szorzó erejéig egyértelmű! Vagyis a földdarabok területarányát a terület fenti fogalma és az eltolással szembeni invarianciája egyértelműen meghatározza, tehát nem függ attól, hogy definiálunk-e, vagy ha igen, milyen konnexiót definiálunk a lépegető földmérők között! Elég, ha mindegyik lépeget a saját irányába, a többi földmérőétől független lépéshosszal! Lépegetésekkel megállapítják, hogy a cserére kiszemelt földdarab oldalai a meglévő földdarab i és j oldalvektoraival a = a1i + a2j és b = b1i + b2j alakban fejezhetők ki. Ekkor az új terület a meglévőnek |a1b2 - a2b1|-szerese. Miért is? Mert ha az i és j oldalú parallelogramma területét 1-nek vesszük, akkor az előző összefüggéssel egy eltolásinvariáns Haar-mértéket definiáltunk a vektorterünkön (mint topologikus csoporton), tehát az így számolt területarányt ugyanannyinak fogja mérni egy tetszőleges c és d oldalú paralelogramma alakú földdarab birtokosa is, hiszen hasonló módon ő is egy eltolásinvariáns Haar-mértéket definiál, e két mérték tehát konstansszorosa egymásnak. Aki nem hiszi, számoljon utána!
