Az euklideszi terekben a távolság különbségből származtatható: a p és q pont távolsága
d(p, q) = |p - q|
,ahol p - q egy vektor, és | ennek a vektornak az euklideszi normáját jelöli. A Riemann-terekben azonban a vektorok nem pontok különbségei, hanem az érintőnyaláb elemei, és különböző pontok felett különböző vektorterekhez tartoznak. Távolságfogalom azonban a Riemann-terekben is van, nevezetesen a p és q pontokat összekötő görbék hosszainak az infimuma:
d(p, q) = inf{len(c) | c: [0,1] → M. c(0) = p, c(1) = q } (1)
Az itt szereplő ívhossz:
len(c) = ∫[0,1] |c.c(t)| dt, (2)
ahol c.c(t) a c görbe c(t) pontbeli érintővektora, |c.c(t)| = [gc(t)(c.c(t),c.c(t))]1/2 és g a metrikus alaptenzor. Egyszerűen belátható, hogy az így definiált hossz csak a c görbe értékkészletétől függ, a görbe konkrét t → c(t) paraméterezésétől nem. Tehát a c görbe paraméterezése olyasvalami, mint egy kémia reakcióban egy katalizátor: a definícióban ugyan szerepel, azonban a definiálandó fogalom mégsem függ tőle.
És lehet ezt is katalizátormentesen is csinálni!1
Az elv ugyanaz, amit általában alkalmaznak a sokaságok esetén: a hiányzó fogalmat a sokaságon értelmezett függvények segítségével definiáljuk. Az alapgondolat a következő.
f(q) - f(p) = ∫[0,1] (d/dt)[f(c(t)]dt
= ∫[0,1] c.c(t)(f) dt
= ∫[0,1] df(c.c(t)) dt
= ∫[0,1] gc(t)(gradf|c(t) , c.c(t)) dt (3)
Ezért
|f(q) - f(p)|≤ ∫[0,1] |gradf|c(t)| |c.c(t)| dt
≤ |gradf|∞ ∫[0,1] |c.c(t)| dt = |gradf|∞ len(c)
, ahol |gradf|∞ = sup{|gradf|p| : p ∈ M}.
Mivel ez tetszőleges p-n és q-n átmenő görbére érvényes ezért (1)-re való tekintettel
|f(q) - f(q)| ≤ |gradf|∞ d(p, q) (4)
Természetesen ennek az egésznek csak akkor van értelme, ha az itt szereplő f függvény majdnem mindenütt korlátos gradienssel rendelkezik. Mivel a kapott összefüggésünk minden ilyen függvényre fennáll, ezért
sup{|f(p) - f(q)| : f ∈ C(M), |gradf|∞ ≤ 1} ≤ d(p, q)
ahol C(M) az M-en majdnem mindenütt deriválható függvények halmaza. Alább megmutatjuk, hogy van ezek között olyan f függvény is, amelyre
|f(p) - f(q)| = d(p, q) (5)
, tehát a kapott összefüggésük jobb és baloldala közti ≤ helyett = jelet írhatunk:
sup{|f(p) - f(q)| : f ∈ C(M), |gradf|∞ ≤ 1} = d(p, q) (6)
Az ígért f függvényünk legyen
fp(q) := d(p, q).
Erre a függvényre (5) szemmel láthatóan teljesül, azt kell tehát róla belátnunk, hogy majdnem mindenüt deriválható és |gradfq|∞ ≤ 1. A háromszög-egyenlőtlenség miatt |fq(p) - fq(r)| ≤ d(p, r), tehát fq Lipschitz-féle legfeljebb 1 Lipschitz konstanssal. Ez azt jelenti, hogy majdnem mindenütt deriválható. Mint látni fogjuk, a |gradfq|∞ ≤ 1 egyenlőtlenség |gradfq|∞ = 1 alakban áll fenn. Ennek az igazolásához szükségünk van az alábbi lemmára.
Lemma.
Legyen fp(q) := d(p, q), ahol d(p, q) a távolságfüggvény. Ekkor tetszőleges p-n átmenő ívhossz-paraméterezésű c geodetikus görbére c.c(t) = gradfp|c(t)
A |gradfp|∞ = 1 egyenlőség a lemma segítségével az alábbi módon látható be. Alkalmazzuk a (3) összeföggésünket az fp függvényre és egy a p ponton átmenő, ívhossz paraméterezésű c(t) geodetikus görbére. Ekkor
fp(q) - fp(p) = s = ∫[0,s] gc(t)(gradfp|c(t) , c.c(t)) dt
Ezt az összefüggést s szerint deriválva:
gc(t)(gradfpc(t) , c.c(t)) = 1
A lemmánk szerint tehát
gc(t)(gradfp|c(t) , gradfp|c(t) )= 1,
vagyis valóban |gradfp|∞ = 1.
Beláttuk tehát, hogy ha egy Riemann-téren a távolság az (1) és (2) összefüggésekkel van definiálva, akkor a (6) összefüggés mindig érvényes. A távolság tehát (1) és (2) helyett közvetlenül az (6) összefüggéssel, vagyis függvényértékek különbségével is definiálható. Így a távolság definíciójához nincs is szükség semmiféle görbére! Éppen fordítva: a görbe ívhossza az, ami ennek segítségével definiálható, mégpedig a szokásos módon: a görbét közelítő poligonok egymást követő pontjai közti távolságok összegének határértékeként, midőn a maximális szomszédpont-távolság 0-hoz tart. Ezzel a görbe ívhosszának a definíciójából is elimináltuk a csak "katalizátorként" szereplő paraméterezést (legalábbis abban az esetben, amikor a görbénk értékkészlete egy 1-dimenziós részsokaság, tehát a görbe nem önátmetsző, sem önmagába visszetérő, tehát az egyértelmű az, hogy mik az "egymást követő pontok").
1Joseph C. Várilly, Dirac Operators and Spectral Geometry, pp33-34
