Állítás
Legyen p az M n-dimenziós Riemann-tér tetszőleges pontja, és fp a p ponttól mért távolságfüggvény : fp: M → R : q → fp(q) := d(p, q), ahol d(p, q) a p és q pont távolsága. Ekkor tetszőleges p-n átmenő ívhossz-paraméterezésű c geodetikus görbére c.c(t) = gradfp|c(t)
Bizonyítás
A gradiens definícójából közvetlenül adódik1, hogy gradfp merőleges fp nívóhalmazaira. A nívóhalmazok n-1 dimenziós sokaságok. Gauss lemmája szerint a p-n átmenő geodetikusak is merőlegesek a nívóhalmazokra, tehát c.c(t) és gradfp|c(t) egyirányúak. Tehát
gradf|c(t) = λ c.c(t)
valamely λ valós számmal.
Azt már láttuk, hogy egy p-n áthaladó, ívhossz-paraméteezésű c(t) görbére
gc(t)(gradf|c(t) , c.c(t)) = 1.
Ebből
gc(t)( λ c.c(t), c.c(t)) = λ|c.c(t)| = 1,
Miivel az ívhossz-paraméterezésű görbékre |c.c(t)| = 1, ezért ebből λ = 1 következik.
1 Hiszen az, hogy c(t) egy nívóhallmazban halad, azt jelenti, hogy f(c(t)) = konstans, vagyis 0 = (d/dt)f(c(t)) = c.(f) = g(grad(f),c.)
