Kérjük kölcsön Paul Diractól a derékszíját, és tűzzük tele gombostűkkel jó sűrűn végig a középvonalán (belülről kívülre), úgy, hogy amikor a szíjat szépen kisimítva lefektetjük az asztalra, akkor a tűk mind szépen párhuzamosan álljanak egymással, függőlegesen felfelé, tehát a szíj és az asztal közös síkjára merőlegesen.
Ha a szíjat a két végénél megfogva kifeszítve felemeljük, a tűk ugyanúgy függőlegesen állnak, egymással párhuzamosan:
Most a szíj csatos végét tartsuk mozdulatlanul a másik végét pedig forgassuk el a szíj középvonala, mint tengely mentén 360 fokkal, vagyis csavarjunk a szíjon egy teljes fordulatot. Nézzük, mi lett a gombostűinkkel. A szíj két végén függőlegesen felfelé állnak, a közepén függőlegesen lefelé, közben pedig folyamatosan változik az irányuk, valahogy így:
Ha szíj hossza 1 egység, akkor a csatos végtől t távolságban lévő gombostűnek a függőlegessel bezárt szöge φ(t) = 2πt (mod 2π)
A t távolság függvényében a szög [-π, π] intervallumbeli reprezentánsa így néz ki:
.png)
A -π szögű helyzet azonos a π szögűvel, az alsó szakasz tehát olyan, hogy a baloldali vége azonos a jobboldalival. Tulajdonképpen az alsó szakasz helyett egy kört kellett volna rajzolnom (a szakasz meggörbítésével és a π pontnak a -π-hez való ragasztásával) ahhoz, hogy a rajz topológiája megegyezzen a tű lehetséges térbeli helyzeteinek a topológiájával. Ha csupán az lett volna a célom, hogy a tűknek az adott fix tengely körüli forgatásait szemléltessem, így is tettem volna. Ha azonban a derékszíjat meglazítjuk úgy, hogy a két végét a végeken lévő tűk függőleges irányának megtartásával közelebb visszük egymáshoz, akkor a szíjat változatos módon tudjuk görbítgetni, aminek eredményeképpen a beleszúrt tűk a bármerre mutathatnak. Az eredeti, függőleges irányukhoz viszonyított helyzetüket ekkor nem tudjuk egyetlen szöggel jellemezni, hanem azt is meg kell adnunk, hogy az eredeti helyzetükből milyen tengely körül fordultak el az adott szöggel (a tengely az eredeti és az elforgatott vektor által kifeszített síkra merőleges, és olyan irányú, hogy az eredeti vektor, az elforgatott vektor és a tengely ebben a sorrenben jobbsodrású rendszert alkosson). Ezt egy térbeli ábrán úgy tudjuk szemléltetni, hogy az előző ábrán szereplő alsó szakaszt az elforgatás tengelyének az irányában vesszük fel. Ha vesszük az összes ilyen lehetséges szakaszt a 0 pontjukkal összeragasztva, az eredmény egy π sugarú tömör gömb lesz, amely felszínének átellenes pontjait azonosnak tekintjük. Ezt a gömböt valós 3-dimenziós projektív térnek (RP3) nevezik, és mint látjuk minden p pontja annak a térbeli elforgatásnak felel meg, amelynek szöge azonos az illető pontnak a gömb o középpontjától mért op távolságával, a forgatás tengelye pedig op irányú. Ez a bizonyos valós 3-dimenziós projektív tér ezek szerint homeomorf a 3-dimenziós forgáscsoporttal, SO(3)-mal.
Az ábrán tehát az alsó szakasz ebben a gömbben helyezkedik el úgy, hogy a 0 pontja a gömb középpontjában van, a két vége pedig a gömb felszínén, az iránya pedig megegyezik a szíj középvonalának az irányával. A lerajzolt függvény pedig a látszat ellenére egy zárt görbe, hiszen folytonos és az alsó szakasz két vége azonos egymással. Ha a szíjat meglazítjuk és a végpontjainak fix helyzetben való tartása mellett különböző módon görbítjük, a görbénk továbbra is zárt marad (hiszen a végpontjai nem változnak), a belső pontjai viszont a benne lévő tű helyzetének megfelelően a gömb belsejében (folytonosan) vándorolnak. Az így valamilyen módon meggörbített szíj tehát az eredeti zárt görbével homotóp görbét definiál a projektív terünkben. Az eredeti, tehát a megcsavarás előtti állapot pedig a [0,1] → {o} görbét jelenti. Ha tehát a szíjat a végeinek fix helyzetben tartása mellett úgy tudnánk tekergetni, hogy végül visszaáll a kiinduló állapot, ez azt jelentené, hogy a szíj alakját leíró projektív térbeli görbénk egy pontra húzható (homeotóp a ponttal). Elég nyilvánvaló, hogy a fent ábrázolt [-π, π] szakasz nem húzható egy pontra, a 360 fokkal megtekert szíjunkat tehát a végpontjainak fix helyzetben való tarása mellett akárhogyan görbítgetjük, soha sem tudjuk az eredeti, csavarásmentes helyzetbe hozni.
Viszont ha a szíjon mégegy fordulatot tekerünk, akkor az ezt leíró görbe duplán fedi le a [-π, π] szakaszt. A kiinduló helyzet lényegében ilyen:
Ez a zárt görbe folytonosan ilyenné deformálható:
Ez pedig a 2. és 3. pont teljesen egymásra húzásával ilyenné:
Ez pedig már egy símán az 1 (=4) pontra húzható zárt görbe.
A derékszíjra vonatkozóan ez azt jelenti, hogy a 720 fokkal megtekert szíjat a két végének fix helyzetben való tartása mellett - a 360 fokkal megtekert helyzettel ellentétben - lehet úgy görbítgetni, hogy végül teljesen kiegyenesedjen.
