A sündisznótétel azt mondja, hogy S2 érintőnyalábjának nincs sehol sem eltűnő szelése. Magyarra lefordítva: a gömb felszínén nem lehet olyan folytonos vektormezőt megadni, ami sehol sem 0. Sündisznóra lefordítva: Az összegömbölyödött sündisznó valamelyik tüskéje mindig pontosan merőleges a gömb felületére. Persze csak akkor, ha a sündisznó tüskéi folytonos függvényei a helynek, és nincs valahol "forgó" a sündisznó frizurájában.
De ez most látszólag nem érdekel minket, hiszen jól elvagyunk mi a hengerpalásttal, Möbius-szalaggal és az Elrettentő Példával. Az érintőnyalábok csak érintőlegesen jöttek be a képbe, és azt mondtuk rájuk, hogy ők tulajdonképpen ugyanazok, mint a hengerpalást. Már persze, ha a kör érintőnyalábjáról van szó. Még a struktúracsoportot sem változtattuk meg, pedig tulajdonképpen kellett volna. Valahol talán már említettem, hogy a vektornyalábok struktúracsoportja (így az érintőnyaláboké is) kötelezően GL(n), vagyis az n-dimenziós általános lineáris csoport. Mi ennek ellenére a {-1,1} csoportot vettük struktúracsoportnak. Hogy tehettünk ilyet? Egyrészt, tudnunk kell, hogy ha egy fibrált nyaláb struktúracsoportja G (vagyis, ha a nyaláb egy trivializációjának átmeneti függvényei G elemei) és G homotopikusan ekvivalens egy H részcsoportjával*, akkor annak a nyalábnak létezik olyan trivializációja is, amelyhez tartozó struktúracsoport H (a G-ról H-ra való áttérést a struktúracsoport redukálásaként szokás emlegetni). Másrészt azt kell tudnunk, hogy a GL(n) csoport homotopikusan ekvivalens O(n)-nel, vagyis az n-dimenziós ortogonális csoporttal, és persze azt is, hogy O(1) = {-1,1}. Az érintőnyalábok struktúracsoportjának tehát nyugodtan vehetjük O(n)-t is, ha éppen úgy akarjuk.
Kézenfekvő lenne azt mondani, hogy az M sokaság T(M) érintőnyalábjának principális nyalábja az a principális nyaláb, amelynek a bázistere M, a struktúracsoportja GL(n), a fibruma pedig ugyancsak GL(n), mint önmaga feletti principális homogén tér. A fibrumot azonban egy kicsit szemléletesebben szokás megadni: GL(n) helyett az n-dimenziós tér rendezett bázisainak (frame) halmazát, amelyen a csoporthatás GL(n) a bázistranszformációk csoportja. Ezt a nyalábot (tehát T(M) standard principális nyalábját) nevezzük az M sokaság F(M) frame-nyalábjának. Nem nehéz észrevenni, hogy GL(n)-nek O(n)-re történő redukálása a frame-nyalábnak az ortonormált bázisokra való leszűkítését jelenti a köztük értelmezett bázistranszformáció-csoporttal.
Ha egy M differenciálható sokaság F(M) frame-nyalábjának van globális szelése, akkor M-et párhuzamosíthatónak (parallelizálhatónak) mondjuk. Az elnevezés oka, hogy F(M) globális szelése M minden p pontja feletti Tp(M) érintőtér egy rendezett bázisának a megadását jelenti p folytonos függvényeként. Ha van ilyen, akkor T(M) vektorai között értelmezhetünk egy párhuzamossági relációt: M két különböző pontja feletti érintővektorokat akkor nevezünk párhuzamosnak, ha az adott bázisokra vonatkozó megfelelő koordinátáik konstansszorosai egymásnak. Lévén, hogy a frame-nyaláb az érintőnyaláb principális nyalábja, egy sokaság pontosan akkor párhuzamosítható, ha az érintőnyalábja triviális. Említettük, hogy a kör érintőnyalábja triviális, tehát a kör párhuzamosítható. A kör frame-nyalábjának egy globális szelése az alábbi ábrán látható.
Persze nemcsak érintőnyalábok, hanem tetszőleges vektornyaláb principális nyalábja is frame-nyaláb, így például a vektornyalábnak tekintett Möbius-szalagé is. Ez a nyaláb nem más, mint az Elrettentő Példa.
És beszélhetünk mondjuk magának a Möbius-szalagnak, mint differenciálható sokaságnak is a frame-nyalábjáról (tehát a Möbius-szalag teljes tere érintőnyalábjának a principális nyalábjáról) is. Ennek egy globális szelése a szalag minden pontjában két egymástól lineárisan független vektor megadása. Más szóval két olyan folytonos vektormezőé, amelyekhez tartozó vektorok minden pontban lineárisan függetlenek egymástól. Ez azt is jelenti, hogy egyik vektormező sem tartalmazhat sehol sem nullvektort, hiszen a nullvektor és egy bármilyen vektor lineárisan függők. A möbius-szalagon egy olyan folytonos vektormezőt meg tudunk adni, ami sehol sem nulla: a szalag minden pontjában a szalag élével párhuzamos irányú ("vízszintes") érintővektorokat veszünk. A másik vektormezőnek olyan érintővektorokból kellene állnia, amelyek minden pontban lineárisan függetlenek az első vektormezőhöz tartozó vektortól, tehát mondjuk merőlegesek arra (a merőlegességet mondjuk a szalagnak egy kiválasztott térképén értve). Ilyen folytonos vektormezőt azonban nem lehet megadni: a szalagon "lefelé mutató" vektorok valahol mindenképpen "fölfelé mutató" vektorral fognak találkozni. A Möbius-szalag tehát nem párhuzamosítható.
Az, hogy a gömbfelszín (S2) sem, az a sündisznótétel egyszerű következménye. A tétel szerint gömbfelszínen egyetlen sehol sem eltűnő vektormezőt sem lehet megadni, nemhogy kettőt.
Nyilvánvaló, hogy párhuzamosítható sokaságok szorzattere is párhuzamosítható, tehát például egy tórusz is, mivel az a kör önmagával vett topologikus szorzata. Az viszont már nem igaz, hogy egy nem párhuzamosítható és egy akármilyen sokaság szorzata ne lehetne párhuzamosítható. Például a gömbfelszín (S2) és az egyenes (R) szorzata R3\{0} párhuzamosítható. A trükk az, hogy az R3\{0} frame-nyalábjának egy szelése három olyan vektormezőből áll, amelyeknek ugyan mindegyike olyan, hogy a gömbfelszínre való vetülete valahol eltűnik, de a három közül minden esetben csak egyé, vagyis mindig marad még kettő, amelyik kifeszíti a gömb adott pont feletti érintőterét. Csak persze nem minden pont felett ugyanaz a kettő, hiszen ha így lenne, akkor ennek a kettőnek S2-re vonatkozó vetületei párhuzamosítanák S2-t.
*Két topologikus tér homotopikus ekvivalenciája azt jelenti, hogy folytonosan egymásba deformálhatók (pl. a kávéscsésze egy fánkká). A pontos definíció az, hogy X és Y topologikus tér definíció szerint homotopikusan ekvivalens, ha létezik egy f: X → Y és egy g: Y → X folytonos függvény úgy, hogy f º g homotóp idX-szel, g º f pedig idY-nal. Két folytonos X → X függvény, pl. h és i pedig definíció szerint akkor homotóp egymással, ha van olyan folytonos H: X × [0,1] → X függvény, hogy H(x,0) = h(x) és H(x,1) = i(x).
