A párhuzamosság fogalmával eddig két különböző értelemben találkoztunk. Az egyik a párhuzamosítható sokaságok, a másik pedig a párhuzamos eltolás (parallel transzport) fogalma volt. Az előbbi tisztán topológiai fogalom, az utóbbit pedig fibrált nyalábokon megadott konnexió definiálja. Azért valami közük van egymáshoz.
Az első fogalom: egy n-dimenziós differenciálható sokaságot akkor nevezünk párhuzamosíthatónak, ha megadható rajta n darab folytonos X1(p),...Xn(p) vektormező úgy, hogy az X1(p),...Xn(p) vektorok minden p pontban lineárisan függetlenek (vagyis a p pont feletti érintőtér bázisát alkotják). Egy ilyen vektormező-rendszer a sokaság frame-nyalábjának egy szelése. Világos, hogy ez a sokaság egészét jellemző, globális tulajdonság, hiszen lokálisan, vagyis a sokaság atlaszából vett bármelyik térképen megadható ilyen vektormező-rendszer: ∂/∂x1,...., ∂/∂xn.
A második fogalom az érintőnyalábok speciális esetében egy érintővektornak egy görbe mentén való párhuzamos eltolása, ami a görbének az érintőnyalábba való horizontális felemelésével azonos. Ennek a felemelésnek a horizontális voltát nem határozza meg a sokaság, hanem mi mondhatjuk meg, hogy egy érintőnyalábban haladó görbe érintője mikor tekintendő horizontálisnak. Ezt a megmondást nevezzük az érintőnyalábon megadott konnexiónak. A konnexiót akkor nevezzük görbületmentesnek, ha az alapsokaság tetszőleges egyszeresen összefüggő tartományában haladó tetszőleges zárt görbe horizontális felemelése is zárt görbe. Vagyis, ha egy vektor egy görbe mentén p pontból q pontba való a párhuzamos eltolásának az eredménye nem függ a görbétől, ha a görbe a sokaságnak egy egyszeresen összefüggő tartományában halad.
Egy görbületmentes lineáris konnexió megadása egy egyszeresen összefüggő sokaság érintőnyalábján a sokaság párhuzamosítását jelenti. Ez esetben ugyanis két különböző pont feletti érintővektor párhuzamossága egyértelműen definiálható, az érintőnyalábnak egy adott vektorral párhuzamos vektorai pedig folytonos vektormezőt alkotnak. Másrészt, egy lineáris konnexió által meghatározott párhuzamos eltolás a vektorok lineáris függetlenségét megőrzi, így a párhuzamosíthatóság által megkívánt vektormezők egy kiszemelt pont feletti érintőtér valamely bázisvektorainak a sokaság minden pontjába való párhuzamos eltoltjai lehetnek.
De többszörösen összefüggő sokaság esetén ez már nincs így: gondoljunk a Möbius szalagra, amint egy a középvonalára merőleges érintővektort párhuzamosan egyszer körbetolunk a középvonal mentén. Az eredmény az lesz, hogy a vektor fejjel lefelé fog visszaérkezni a kiinduló pontba, vagyis ebben az esetben a párhuzamos eltolás segítségével nem tudunk folytonos vektormezőt megadni! És persze az is igaz, hogy egy párhuzamosítható sokaságon is lehet azért görbült konnexiót megadni, gondoljunk csak egy félgömbre a rajta természetes módon értelmezett párhuzamos eltolással!
Egy egyszeresen összefüggő sokaság érintőnyalábján megadott görbületmentes konnexió az érintőnyalábot Descartes-szorzattá teszi, hiszen a sokaság különböző pontjai feletti két érintővektort azonosíthatunk egymással, ha egymás párhuzamos eltoltjai.
