Állítás.
LXYf = [X,Y]f
ahol
(LXYf)(p) = limt→0(1/t)[([Y(f º φ- 1t)](φt(p)) - Yf (p)]
és
[X,Y]f = X(Yf) - Y(Xf)
Bizonyítás.
A bizonyításhoz szükségünk van a következő lemmára.
Lemma.
Ha az f: -(ε, ε) x M -> R függvény deriválható, és tetszőleges p pontban f(0, p) = 0, akkor van olyan f: -(ε, ε) x M -> R deriválható függvén, amelyre
f(t, p) = tg(t, p)
és
(∂/∂t)f(0, p) = g(0, p)
A lemma bizonyítása
Legyen
g(t, p) = ∫[0,1](∂/∂t)f(0, p) ds.
A tétel bizonyítása
A lemmánk szerint
f º φ- 1t = f + tgt
g0 = -Xf
Ezért
limt→0(1/t)[([Y(f º φ- 1t)](φt(p)) - Yf (p)] = limt→0(1/t)[([Y( f + tgt)](φt(p)) - Yf (p)]
= limt→0(1/t)[(Yf(φt(p)) - Yf (p)] + Y(g0)
= Xp(Yf) - Yp(Xf).
q.u.e.d.
(az itt közölt bizonyítás Michael Spivaktól ([2]) származik)
